별것은 아니고 그냥 아주 간단한 설명을 해볼까 합니다.
이런 단순한 시뮬레이션 문제는 몇 가지 사항만 제대로 알고 있으면 풀기 쉽습니다.
1. 물체의 상태는 매 프레임마다 변하므로 매 프레임마다 계산해야 한다
당연한 소리인데요, 매번 달라지는 물체의 상태를 매번 계산해 넣어야 합니다.
말씀드린대로 대수적으로 푸는 방법과 수치적으로 푸는 방법이 있는데,
컴퓨터로도 두 가지 모두 가능하지만 대수적인 방법은 좀 어렵고,
수치적인 방법은 오차가 누적된다는 단점이 각각 있습니다.
일반적으로는 수치적으로 풉니다. 그러니까 저도 수치적으로 따져보겠습니다.
2. 먼저 필요한 정보는 물체의 초기 상태
간단한 사실이면서도 간과하기 쉬운 부분입니다.
솔직히 말해서 이것과 아래쪽에 나올 4번만 완벽히 이해하면 이런 문제는 껌이라고 할 수 있습니다. ^^;;
이런 시뮬레이션을 처리하기 위해서는, 당연히 물체의 초기 상태를 알고 있어야 합니다.
예를 들어 포탄이라면 어떤 것이 필요할까요?
일단 처음 위치를 알아야 이후에도 어디로 이동할지 알 수 있기 때문에 처음 위치를 알아야겠습니다.
그리고, 포탄이 정지되어 있을수도 있지만 자동차처럼 처음부터 움직이고 있던 물체의 경우처럼, 처음 속도를 알고 있어야겠죠.
그밖에도, 다시 자동차를 예를 들면 처음 가속도를 알고 있어야 합니다. 예를 들어 같은 50km/h 로 달리는 자동차라도 엑셀을 밟고 있는 경우와 브레이크를 밟고 있는 경우랑은 다르겠죠?
포탄같은 많은 시뮬레이션 물체는 가만히 놓인 채로 멈춰있으므로 일반적으로 처음 속도와 처음 가속도는 0으로 시작합니다.
또, 질량도 알고 있어야 합니다. 트럭과 승용차는 확실히 다르기 때문입니다.
이렇게 한 4가지 정도 고려해볼 수 있습니다.
물론, 이것은 완벽하게 고려한 것이 아니고 꼭 필요한 것 몇 가지만 고려해본 것입니다.
이것들을 어떻게 이용하느냐? 너무나도 간단합니다.
"처음"이라는 말이 붙은 것들은 각각 해당하는 계산값에 그저 더해주면 됩니다.
예를 들어, 수직선상에 있는 어떤 물체가 오른쪽으로 30m 움직였다면 이 물체는 어디에 있을까? 하는 문제를 풀기 위해서는, 처음에 물체가 어디에 있었는지를 알아야겠죠?
만약 -20m 위치에 있었다면, 단순히 이것을 더하여 10m 라는 것을 알 수 있을 것입니다.
참고로, 위치, 속도, 가속도는 모두 벡터입니다. 이차원으로 해도 되고 삼차원으로 해도 상관 없습니다. 벡터는 각각 x, y 또는 x, y, z 성분으로 나눠서 각각 성분만 모아서 따로 계산하면 되니까 몇 차원이냐는 그리 중요하지 않습니다.
다만 그래픽 구현상의 문제로 이차원으로 처리하는게 편합니다. 아니면, 내부적으로 삼차원으로 계산하더라도 z 좌표는 무시해버리는 방법 같이 이차원으로 표현하는 방법도 쓸 수 있겠죠.
중요: 이 문제는 질량이 변하지 않는다는 가정을 두고 있습니다. 따라서 질량이 초기 상태에 들어있습니다. 만약 폭탄을 투하하는 비행기 문제를 풀려면 이것만으로는 부족합니다.
3. 물체에 가해질 힘만 알면 끝
물체의 초기 상태를 알았다면, 이제 앞으로 이 물체가 어떻게 운동을 할지 영향을 주는 요소- 바로 "힘"을 고려해야 합니다.
물체에 힘을 가하면 운동 상태가 변하죠. 매우 당연한 사실입니다.
바람이 불거나, 공기 저항을 받거나, 중력을 받거나, 손으로 밀거나, 화약이 터지거나...
이 모든 사건은 물체에 "힘"을 가하는 행위라고 할 수 있습니다.
덕분에, 물체의 운동을 따지기 위해서는 단지 물체에 가해지는 모든 힘만을 따져보면 끝입니다.
참고: 초기상태에서 고려하는 처음 가속도는 사실 처음에 가해지는 힘이라고 볼 수도 있습니다.
그런데, 힘만 안다고 모든 것이 해결될까요?
맞습니다. 힘만 알면 모든 것이 해결됩니다.
그 이유는 간단합니다. 중학교부터 시작해서 고등학교에서도 가르치는 내용이지만
물체의 초기 상태와 변화 시간을 알고 있을 때
가해지는 힘을 알면 가속도를 알 수 있다.
가속도를 알면 속도를 알 수 있다.
속도를 알면 위치를 알 수 있다.
가 되어, 힘만 알면 나머지 요소는 모두 자동적으로 알아낼 수 있습니다.
여기서 중요한 것 한가지가 또 나오는데
변화 시간을 알고 있어야 합니다. 변화 시간이 왜 필요한지는 간단합니다.
자동차가 가다가 브레이크를 밟는 경우를 생각해보세요.
속도가 50km/h 에서 30km/h 로 떨어졌습니다. 그런데 이것이 1초 동안에 일어나는 경우와, 1시간 동안에 일어나는 일이 다르다는 것은 누구나 알 수 있습니다.
1초 동안에 20km/h나 감속되면 "끼이이익" 소리가 나며 운전자는 앞유리에 머리를 박을 수도 있습니다.
그러나 1시간 동안 20km/h 를 감속해봤자 안에 탄 사람은 속도가 줄었다는 것을 느끼지 못할지도 모릅니다.
이런 식으로, 반드시 변화 시간을 알고 있어야만 제대로 가해진 힘을 계산할 수 있기 때문에 꼭 변화 시간을 알고 있어야 합니다.
프로그래밍적으로 이것을 처리할 때는, 변화 시간(Delta-time)을 짧게 잡을 수록 시뮬레이션이 정밀해집니다.
그도 그럴것이, 0.001초마다 상태를 파악하고 계산하는 것이 1초마다 하는 것 보다 정확하겠죠.
하지만 그만큼 계산을 자주 해야 하기 때문에 속도가 떨어집니다. 그래서 변화 시간은 적당히 잡는 것이 중요합니다.
프로그램을 만들 때 변화 시간을 표현하려면, 단순히 이전 프레임에서 다음 프레임으로 넘어갈 때 걸린 시간으로 잡으면 됩니다. 아니면 항상 "0.2초" 같이 고정된 시간으로 잡을 수도 있습니다. 단 이런 경우에는 컴퓨터가 빨라서 실제 계산이 0.2초보다 빠르게 일어나면 시뮬레이션도 덩달다 빨라지고, 컴퓨터가 느려서 0.2초보다 늦게 계산되면 시뮬레이션도 덩달아 느려지겠죠.
4. 힘을 계산해보자
그럼 이제 다시 포탄으로 돌아가서, 포탄이 날아갈 때를 생각해볼까요.
포탄이 날아가는 동안 어떤 힘을 받을지 한번 생각해봅시다.
가장 먼저 떠오르는 것은 중력입니다.
지구상의 모든 물체는 중력을 받고 있으니, 포탄도 지구 중심을 향해 떨어지려 할 겁니다.
다행히 중력은 구하기 쉽습니다.
gravity = mg
즉, 중력은 질량에 중력 가속도를 곱한 값입니다. 이 때 중력 가속도는 정해진 상수 값인데(물론 장소에 따라 조금씩 변하기는 하지만) 현실 세계에서는 약 9.8m/s^2 로 익히 잘 알고 있는 값이죠.
하지만 시뮬레이션 할 때는 몇 픽셀이 1m라는 기준이 없으므로 그저 적당한 아무 값을 사용하면 됩니다.
아참, 중력을 비롯한 모든 "힘"은 벡터입니다.
그래서 방향을 반드시 따져야 합니다.
중력의 경우, 항상 아래쪽으로 끌어당기죠. 그래서 힘의 방향은 아래쪽입니다.
X-Y 좌표계로 생각해볼 때 -Y 방향이 되죠.
그리고 또 생각해볼 수 있는 힘은 마찰력 또는 저항력입니다.
포탄이 공기 중을 날아가는 동안 공기 때문에 속도가 줄어들게 되죠.
물론 공기 저항력을 실제와 흡사하게 계산하려면 유체 역학같은 학문이 필요합니다.
공기라는 것이 가만이 있어주면 좋으련만, 시시각각 상태가 변하기 때문에 제대로 고려한다면 계산 속도를 많이 잡아먹게 될 부분 중 하나입니다.
공기같은 유체는 밀도, 습도, 온도, 점성같은 많은 요인에 의해 저항력이 변하기 때문에 고려해야 할 것이 너무도 많은 놈이죠. 심지어 포탄의 표면 상태나 재질에 의해서도 변화합니다.
하지만 이것을 모두 고려해야 할 필요는 없습니다.(특히 게임 같은 경우)
일상 생활의 경험을 기준으로 생각해보면
천천히 움직일 때는 공기가 있는지 없는지 모를 정도로 저항력을 약하게 받습니다.
그러나 점점 세게 뛰면 공기가 세게 얼굴을 치는 것을 느낄 수 있을 겁니다.
자동차를 타고 200km를 밟아보신 분이라면 더 확실히 아시겠죠.
따라서 빨리 뛸 수록 공기 저항력은 커진다는 것을 알 수 있습니다.
이것을 다르게 표현하면, 공기 저항력은 속도에 비례한다는 겁니다.
그리고 공기가 우리가 뛰는 방향의 반대로 부딪히기 때문에, 운동 방향의 반대라는 것도 알 수 있습니다. 다르게 말하면, 공기 저항력의 방향은 속도의 반대 방향이라는 겁니다.
이런 논리로, 공기 저항력을 간단하게 표현하면
air_friction = -kv
라고 할 수 있을 겁니다.
v는 속도고, - 는 반대 방향이란 뜻입니다. 그리고 k 는 비례 상수인데, 멋대로 정해줘도 좋고 직접 계산해서 정해도 좋습니다.
적당히 0.2 같은 값을 입력하면 비슷해 보입니다. k 가 0이면 공기 저항력이 없는 거겠죠.
여기서 공기의 밀도, 습도, 온도, 표면 재질 따위를 고려하려면 이 k 값을 적당히 조율하면 됩니다.
예를 들어 밀도가 높으면 저항력이 좀 더 세겠죠. 습도가 높아도 마찬가집니다. 이런 식으로 저항력이 좀 더 세다면 k 값을 좀 더 크게 조정하면 됩니다.
물론, 이런 "허접한 공기 저항력"으로는 종이가 팔랑거리며 떨어지는 것은 시뮬레이션 할 수 없을 겁니다.
포탄처럼 적당히 딱딱하고 적당히 무거운 물체나 시뮬레이션 할 수 있는 제한적인 공식입니다.
흠, 그리고 아까 그 글에서 본 것 처럼 바람이 불면 바람 때문에 포탄의 경로가 바뀔 수도 있습니다. 물론 포탄이 워낙 무겁기 때문에 그 변화가 미미하지만 총알같이 가벼운 것은 실제로 경로가 크게 바뀝니다. (다만 워낙 빠르기 때문에 경로가 틀어지기 전에 어딘가에 박혀버려서 그걸 잘 알 수 없습니다.)
따라서 추가적으로 바람의 영향을 고려할 수도 있습니다.
바람은 당연하지만 바람이 부는 방향으로 힘을 가합니다. 힘을 얼마나 가하느냐...이건 바람의 세기의 영향을 받겠죠.
바람의 방향이야 멋대로 정해줘도 괜찮고, 힘은 실제로 바람의 세기를 측정해서 계산할 수도 있을 거고, 아니면 그냥 적당한 값을 넣을 수도 있습니다.
그러면 대충 몇 가지 간단한 힘을 따져 봤습니다.
그렇지만 실제로 이 정도만 고려해도 충분합니다. 나머지 힘은 효과가 너무 미미해서 거의 나타나지 않기 때문이죠. 공기의 온도나 포탄의 방향과 회전에 따라 부력이 생길수도 있고, 심지어 옆에서 나는 큰 소리도 힘을 가할 수 있습니다.
하지만 이런 것들은 무시해도 전혀 지장이 없을 정도로 너무나도 작은 힘들입니다.
그럼 앞에서처럼 간단하게 중력과 공기 저항력, 그리고 바람의 영향을 고려해봤습니다.
대충 이것들을 공식으로 표현해보면
중력 = mg
공기저항력 = -kv
바람 = F
이라고 표시할 수 있을 겁니다.
(m = 질량, g = 중력 가속도, k = 공기 저항 비례 상수, v = 물체의 속도, F = 그냥 바람이 끼치는 영향; 아무런 적당한 값과 방향)
이 예에서는 겨우 힘이 세 가지 뿐이지만, 아주 정밀한 시뮬레이션을 원한다면 10개도 넘게 찾아낼 수 있습니다.
이런! 그럼 이 힘들을 모두 고려하느라 힘을 들여야 할까요?
그럴 필요 전혀 없습니다.
이 힘들은 원인이나 작용 방법이 모두 다르지만, 결국엔 그저 "힘"일 뿐입니다.
따라서 몽땅 더해서 합력(알짜힘)을 구하면 그만입니다.
줄다리기를 하고 있는 모습을 상상해봅시다.
양쪽 끝에서 거의 동일한 힘으로 줄을 잡아 당기고 있습니다. 이 힘들이 상쇄되어 줄은 힘을 안받는거나 마찬가지지요. 그래서 거의 움직이지 않고 있습니다. (물론 줄 전체를 놓고 봤을 때입니다. 만약 줄이 끊어진다면, 그건 줄의 각 부위가 서로 다른 방향에서 힘을 받아서 줄의 장력을 이기고 줄이 끊어져버리는 겁니다. 줄 전체를 놓고 보면 양쪽에서 당기는 힘과 장력이 똑같이 버티고 있어서 평형을 이룹니다.)
이런 식으로 힘을 모두 합해서 하나로 만들어도, 결국 결과적으로 동일합니다.
그러므로, 일단 각각의 공식으로 이 힘들을 구해서 모두 더한 "알짜힘"만을 고려해주면 충분하다 이겁니다.
이것이 가장 중요한 점입니다. 모두 따로 따로 고려해줄 필요가 전혀 없습니다.
일단 힘만을 모두 구한 다음, 이것을 모두 더해서 힘을 한번만 고려하면 됩니다.
5. 힘 = 가속도
이제 물체에 가해지는 힘을 구했다면, 가속도를 구해야 합니다.
힘을 가하면 가속도가 생기고, 그것 때문에 물체의 운동이 바뀌는 거니까요.
고등학교, 혹은 중학교 시절에 배웠던 아주 간단한 식 하나가 떠오를 겁니다.
F=ma
즉, 힘은 질량 * 가속도라는 겁니다.
바꿔 말하면, 힘 / 질량은 가속도라는 거죠.
간단히 힘을 질량으로 나눠줌으로써 가속도를 쉽게 구할 수 있습니다.
아, 여기에 처음 가속도를 더해줘야 올바른 전체 가속도를 얻을 수 있습니다.
딴소리
무거운 물체가 더 빨리 떨어질까? 다들 아니라는 것을 알고 계실 겁니다.
모든 물체는 mg라는 중력을 받습니다. 따라서 무거운 물체가 당연히 힘을 더 받습니다.
하지만, F=ma 에서 a = F/m 이기 때문에, 똑같은 힘을 받더라도 무거운 물체가 가속도를 작게 받습니다. 당연하죠? 트럭에 물건을 조금 실었을 때와 많이 실었을 때 똑같이 엑셀을 밟아도 조금 실었을 때가 더 빨리 출발할 수 있는 것 처럼요.
그러므로, mg라는 힘을 받아도 m으로 나눠지기 때문에 질량에 관계 없이 결국 가속도는 g가 되기 때문에 무거운 물체가 더 빨리 떨어지는게 아니라는 거죠.
가벼운 종이가 더 느리게 떨어지지 않느냐? 하는 질문에는 아까의 공기 저항력 -kv를 보면 알 수 있습니다. 가속도는 힘을 질량으로 나눈 것, 즉 공기 저항력으로 생기는 가속도는 -kv/m 입니다. 이 값은 질량이 클수록 작고, 질량이 작을수록 큽니다. 그래서 당연하게도 똑같은 저항력을 받더라도 질량이 작은 종이가 더 큰 저항을 받기 때문에 늦게 떨어지는 거죠.
역시 물리는 배울 수록 재미있는 학문 같군요.(?) |
6. 물체의 속도 구하기
가속도도 구했으니, 이제 물체의 속도를 구해볼까요.
이것도 단순히, 가속도에 변화 시간을 곱하면 바로 속도가 나옵니다.
여기서 주의할 것이 있는데, 전체 시간을 곱하는게 아니라 변화 시간을 곱하기 때문에, 여기서 얻는 속도는 물체의 속도가 아니라, 속도의 변화량입니다.
그래서, 매번 속도를 계산해서 이것을 누적시켜야 물체의 지금 이 순간의 속도를 알 수 있습니다.
이런 식으로 하면 됩니다. 간단하군요.
물체의 속도 ← 물체의 속도 + 가속도 * 변화 시간
v ← v + a * dt
물론, 맨 처음의 v 값은 처음 속도겠죠. 처음 속도로부터 차곡 차곡 속도의 변화량이 쌓여서 현재의 속도를 구할 수 있는 겁니다.
예를 들어, 이런 식으로 속도를 구하고 있는 겁니다.
처음에 50km/h 로 달리던 자동차가
1초 뒤 5km/h 빨라졌다가
1초 뒤 3km/h 빨라졌다가
1초 뒤 2km/h 빨라졌다가
1초 뒤 4km/h 느려졌다가
1초 뒤 2km/h 느려졌다.
그러면 처음으로부터 1+1+1+1+1...즉 5초가 지난 지금의 속도는 몇일까? 하는 문제를 푸는 것과 같습니다.
답은 50 +5*1 +3*1 +2*1 -4*1 -2*1 = 54 가 되겠죠.
7. 가장 중요한 물체의 좌표를 구해보자!
이제 가장 중요한 부분만이 남았습니다.
바로 물체의 위치를 구하는 거죠.
이런 시뮬레이션을 그려줄 때 속도나 가속도 같은 것을 알아서 무엇 하겠습니까?
위치를 알아야 제대로 그려줄 수 있겠죠.
여기까지 속도를 구했다면, 위치를 구하는 것은 완전 껌입니다.
물체의 위치 ← 물체의 위치 + 속도 * 변화 시간
x ← x + v * dt
속도를 구할때와 똑같습니다.
이것도 같은 방법으로 위치를 누적시켜 나갑니다.
가장 처음의 x 값을 물론 초기 위치입니다. 여기서 x 는 꼭 x 좌표를 말하는게 아니라, 위치 자체를 나타내는 벡터입니다.
이것을 말로 풀어보면
처음에 30m 위치에 있던 자동차가
1초 뒤 3m/s 로 달렸다가
1초 뒤 2m/s 로 달렸다가
1초 뒤 -5m/s 로 달렸다.
그럼 처음으로부터 3초 뒤인 지금 자동차는 어디에 있을까?
30 +3*1 +2*1 -5*1 = 30
제자리로 돌아오네요.
이런 식으로, 몇 가지 개념만 알면 이런 시뮬레이션은 전혀 어려운 것이 아닙니다.
그럼 무엇을 어떻게 해야 하는지 다시 정리해볼까요?
1. 시뮬레이션을 하는데 필요한 물체의 초기 정보가 필요하다.
2. 물체의 운동에 영향을 주는 힘들을 고려한다.
3. 힘들을 모두 더한다.
4. 힘에서 가속도를 구한다.
5. 가속도에서 속도를 구한다.
6. 속도에서 위치를 구한다.
이 얼마나 간단합니까!
이 개념만 굳게 잡혀있으면 나머지 단계는 일도 아닙니다.
1 번이야 만드는 사람이 정해주거나, 혹은 초기값은 대부분 0이니까 어려운 것도 아닙니다.
2 번이 제일 어려운 부분일테지만, 몇 가지 공식만 알고 있으면 구할 수 있습니다.
그리고 3 번, 여기서 일을 쉽게 만드는 거죠. 힘을 모두 더해서 하나로 만듭니다. 그럼 이 힘 하나만 계산해주면 끝입니다.
4, 5, 6번은 그냥 산수 문제이므로 설명을 생략합니다.
저도 몇 가지 운동 시뮬레이션을 만들어 보면서 이 구조의 강점을 절실히 느꼈습니다.
필요한 것을 모두 고려한 다음 "이 모두를 한번에 고려하여" 적용시킵니다.
정말 이런 시뮬레이션을 만드시는 분들은 꼭 이런 방법을 익혀두시면 편할거라고 생각합니다.
또한, 이런 문제를 다루는데 두려움이 사라집니다.
잘 알지도 못하는 주제에 짧게 쓴다더니 어쩌다보니 길게 써버렸네요.
허접한 설명이었지만 읽어주셔서 감사합니다.
오해가 있을 것 같아서 덧붙임:
이런 시뮬레이션 문제가 쉽고 단순하다고 했는데, 포탄처럼 운동하는 동안 박살나거나 찌그러지고 구겨지는 것이 적은, 즉 변형이 적은 강체 모델을 다뤘기 때문에 그렇습니다.
강체 문제는 만약 차가 벽에 박아서 차체가 찌그러진다거나, 야구공이 방망이에 맞아서 공이 찌그러지는 변형체 문제 같은 거랑은 차원이 다를 정도로 단순하기 때문에 그런 표현을 썼습니다.
참고: 나중 되면 이런 문제는 생각할 것도 없이 그냥 가속도 적분해서 속도, 속도 적분해서 위치가 됩니다.
이 때 대수적으로-적분을 풀어서-푸는 방법과 수치적으로-값을 누적해가며-푸는 방법이 있다고 했는데요.
일반적으로 컴퓨터에서는 수치적으로 풀지만 대수적으로 못할 것도 없습니다.
수치적으로 푸는 방법은 누적하다보니 오차도 누적되어 점점 이상해지니까요.
이 때 대수적으로 풀면, 변화 시간 같은 것이 필요 없고 원하는 시간의 값을 바로 구할 수 있습니다. 오차도 누적되지 않은, 컴퓨터의 소수점 잘리는 가벼운 오차 정도입니다.
대수적으로 푸는 방법은 연속적인 모든 상태 변화를 고려하여 푸는 것이기 때문에 그렇습니다.
다만 그렇기 때문에 이 방법은 결코 쉽지가 않습니다. 또 지금까지 설명한 간단한 방법도 먹히지 않습니다. -_-
반면에 수치적으로 푸는 방법은 각각 연속적으로 변화하는 상태를 변화 시간이라는 단위로 구간별로 잘라서, 그 구간 안에서는 상태 변화가 없다고 치고 변화의 평균만 고려해서 더해나가는 방식입니다. 이산적인 방법이죠.
그래서 변화 시간 동안에 일어나는 변화는 무시되므로 오차가 점점 누적됩니다.
장점이라면 뭐... 구현하기도 쉽고 개념적으로도 간단하달까요.
오차는 생각보다 크지 않습니다. 게임 같이 단기적인 시뮬레이션을 하는 경우에는 이 방법이 적당합니다. 속도도 빠르거든요. (식 자체가 간단하니까)
변화 시간을 작게 잡을수록 오차가 적어지지만 그렇다고 너무 작게 잡아도 너무 계산을 많이 하게 되므로 주의하세요.
이건 아는 사람만 알아들을 소리인가요? -_-; |
|
